建設業許可の要件として、
・経営管理者（建設業の経営業務の経験が5年以上ある）
・専任技術者（その業種の資格を持っているか、その業種で10年以上の実務経験がある）

という人が要ります。経営管理者と専任技術者を同じ人が兼ねても構いません。主に、社長が経営管理者と専任技術者を兼ねる場合が多いです。

経営管理者と専任技術者は、この会社に常勤している必要があります。そこで「他社で兼務していません」という証明が要ります。
経営管理者か専任技術者が居ないために建設業許可を取れない場合が多いので、名前を貸すのを防ぐために、この会社で常勤している証明です。
そこで使われるのが、健康保険証です。
健康保険証には、所属している会社名が載ります。健康保険証は1社でしか取れないので、健康保険証に載っている会社に所属している＝常勤していると、証明されます。

専任技術者の方を雇った場合など、自社の健康保険に加入していないと、常勤と認められません。

なお、非常勤役員は当然として、経営管理者と常勤管理者にあたらない役員の方の健康保険証は不要です。

（愛知県の場合です）